Методи фінансових обчислень

Методи фінансових обчислень

Вступ.

Розділ 1. Теоретико-методологічні аспекти фінансових обчислень.

1.1. Сутність фінансових обчислень.

1.2. Поняття простих відсотків. Облік по простих відсотках. Математичний і банківський облік.

1.3. Поняття складних відсотків. Облік по складних відсотках. Облік інфляції у фінансово-економічних розрахунках.

Розділ 2. Елементарні фінансові розрахунки та застосування їх на практиці у банківській діяльності.

2.1. Застосування фінансових обчислень для аналізу фінансових показників.

2.2. Визначення механізмів нарощення простих і складних відсотків у банківській діяльності.

Розділ 3. Розвиток та вдосконалення роботи з фінансовими обчисленнями.

Висновки.

Список використаної літератури.

Вступ

Актуальність теми. У сучасних умовах, коли економіка України поступово переходить до ринкових відносин, виникає нагальна потреба у відродженні кількісних методів оцінювання фінансових операцій, які були незатребувані протягом багатьох десятиліть. Причини цього явища є цілком зрозумілими: з'являються справді незалежні підприємства, формується ринок капіталу, а банківська система зазнає фундаментальних змін. Прийняття багатьох фінансових рішень не може ґрунтуватися лише на інтуїції; значно якісніші результати можна отримати, застосовуючи формалізовані методи оцінки. Існує чимало ситуацій, де оптимальне рішення, ухвалене тільки на основі інтуїтивного підходу, взагалі неможливе. Саме в таких випадках на допомогу приходять методи фінансових обчислень, відомі також як методи фінансової математики. Цю дисципліну сьогодні викладають у багатьох вищих навчальних закладах та коледжах. Математичний апарат, що використовується у фінансовій математиці, є досить різноманітним: від елементарних підходів, зрозумілих навіть школярам, до складних методів, які потребують залучення професійних математиків.

Як професійна сфера, фінансові розрахунки активно розвиваються впродовж останніх десятиліть завдяки появі нових фінансових інструментів (опціони, ф'ючерси, свопи тощо) та нових напрямів діяльності, серед яких варто виокремити фінансовий менеджмент і фінансовий аналіз. Професія фінансового менеджера, який керує фінансами суб'єкта господарювання, стає дедалі популярнішою та затребуваною серед керівників компаній. Логіка цього попиту очевидна: фінансові потоки компанії є, по суті, її кровоносною системою. Від того, наскільки ефективно функціонує ця система, залежить життєздатність підприємства. Слід зазначити, що коло потенційних претендентів на цю посаду є досить широким, зокрема серед чинних працівників управлінського апарату підприємств, передусім працівників планово-економічних служб, фінансових відділів та бухгалтерій.

Фінансові обчислення виникли разом із появою товарно-грошових відносин, проте як окрема галузь знань вони сформувалися лише в XIX столітті, отримавши назву "комерційні обчислення" або "комерційна арифметика". Як зазначав російський математик, фінансист і бухгалтер Н.С. Лунський, комерційна математика спочатку існувала під назвою "політичної арифметики", засновником якої був англійський економіст Вільям Петті — батько політичної економії та родоначальник статистичної науки.

Швидке економічне зростання країн у XIX столітті значною мірою було зумовлене поширенням комерційних знань. Зокрема, в Росії дії уряду сприяли тому, що до кінця XIX століття з'явилися комерційні училища, торговельні школи, класи та курси, оскільки актуальність комерційної освіти не викликала жодних сумнівів. Основою комерційних наук була комерційна арифметика, адже саме вона супроводжує кожну торговельну операцію та кожну фінансову угоду.

Над розвитком фінансових або комерційних обчислень працювали такі російські вчені, як І.З. Бревдо, Р.Я. Вейцман, П.М. Гончаров, І.І. Кауфман, Н.С. Лунський, Б.Ф. Мелешевський та інші, які збагатили теорію й практику "комерційної арифметики".

Мета роботи полягає в аналізі та з'ясуванні основних характеристик фінансових обчислень на основі доступної літератури.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі завдання:

• визначити особливості фінансових обчислень;
• охарактеризувати значення простих відсотків;
• дослідити зв'язок складних відсотків;
• розглянути елементарні фінансові розрахунки та їх застосування в банківській практиці.

Наукова новизна роботи полягає в тому, що на основі аналізу різнопланових джерел розглядається проблема методів фінансових обчислень.

Об'єктом дослідження є основи та загальні риси фінансових обчислень.

Предметом дослідження виступає дослідження головних методів фінансових обчислень та їх значення.

Розділ 1. Теоретико-методологічні аспекти фінансових обчислень

1.1. Сутність фінансових обчислень

Однією з ключових властивостей грошових потоків є їхній розподіл у часі. Під час аналізу короткострокових періодів (до одного року) в умовах стабільної економіки ця властивість має відносно незначний вплив, яким часто нехтують. Визначаючи річний обсяг реалізації підприємства, просто підсумовують виторг за кожен місяць звітного року. Аналогічно діють з іншими грошовими потоками, що дозволяє оперувати їхніми підсумковими значеннями. Однак для триваліших періодів або в умовах високої інфляції виникає серйозна проблема забезпечення порівнянності даних. Одна й та сама номінальна сума грошей, отримана підприємством з інтервалом в один і більше років, матиме для нього різну цінність. Очевидно, що 1 млн грн на початку 1992 року був значно вагомішим, ніж мільйон "зразка" 1993 року чи пізніших років. Зазвичай у таких випадках здійснюють коригування звітних даних з урахуванням інфляції. Проте проблема не обмежується лише обліком інфляції. Одним із фундаментальних принципів фінансового менеджменту є визнання тимчасової цінності грошей, тобто залежності їхньої реальної вартості від тривалості періоду, що залишається до їх отримання або витрачання. В економічній теорії ця властивість називається позитивною тимчасовою перевагою.

Окрім інфляційного знецінення грошей, існують щонайменше три важливі причини цього економічного явища. По-перше, "сьогоднішні" гроші завжди цінніші за "завтрашні" через ризик їх неотримання, і цей ризик зростає зі збільшенням часового проміжку. По-друге, маючи кошти "сьогодні", економічний суб'єкт може інвестувати їх у прибуткову справу та отримати дохід, тоді як одержувач майбутніх грошей такої можливості позбавлений. Розстаючись із грошима "сьогодні" на певний період (наприклад, даючи їх у борг на місяць), власник не лише ризикує їх не повернути, але й зазнає реальних економічних втрат у вигляді недоотриманих доходів від інвестування. Крім того, знижується його платоспроможність, оскільки будь-які зобов'язання, отримані замість грошей, мають нижчу ліквідність, ніж "живі" гроші. Тобто в кредитора зростає ризик втрати ліквідності, що є третьою причиною позитивної тимчасової переваги. Звісно, більшість власників грошей не готові безкоштовно брати на себе такі суттєві додаткові ризики. Тому, надаючи кредит, вони встановлюють умови повернення, які, на їхню думку, повністю компенсують усі моральні та матеріальні незручності, пов'язані з тимчасовим розставанням із грошима.

Кількісним виміром цієї компенсації є процентна ставка. За її допомогою можна визначити як майбутню вартість "сьогоднішніх" грошей (наприклад, якщо їх планують позичити), так і дійсну (сучасну, поточну або наведену) вартість "завтрашніх" грошей — наприклад, тих, якими обіцяють розрахуватися через рік після поставки товарів чи надання послуг. У першому випадку йдеться про операції нарощення, тому майбутню вартість грошей часто називають нарощеною. У другому випадку виконується дисконтування або приведення майбутньої вартості до її сучасної величини — звідси термін дисконтована, наведена або поточна вартість. Операції нарощення грошей за процентною ставкою є простішими та зрозумілішими, оскільки з ними доводиться стикатися досить часто, беручи або даючи гроші в борг. Однак для фінансового менеджменту значно важливішим є дисконтування грошових потоків, приведення їхньої майбутньої вартості до сучасного моменту для забезпечення порівнянності величини розподілених у часі платежів. По суті, дисконтування — це нарощення "навпаки", проте для фінансових розрахунків важливі деталі, тому необхідно докладніше розглянути як пряме, так і зворотне завдання процентних обчислень. Перш ніж розглядати їх стосовно грошових потоків, варто засвоїти найелементарніші операції з одиничними сумами (разовими платежами) [3, c. 314-316].

Процентна ставка показує ступінь інтенсивності зміни вартості грошей у часі. Абсолютна величина цієї зміни називається відсотком, вимірюється в грошових одиницях (наприклад, гривнях) і позначається І. Якщо позначити майбутню суму S, а сучасну (або первісну) P, то І = S - P. Процентна ставка і є відносною величиною, вимірюється в десяткових дробах або відсотках і визначається діленням відсотків на первісну суму:

Можна помітити, що формула розрахунку процентної ставки ідентична розрахунку статистичного показника "темп приросту". Дійсно, якщо абсолютна сума відсотка (І) є приростом сучасної величини, то відношення цього приросту до сучасної величини і буде темпом приросту первісної суми. Нарощення первісної суми за процентною ставкою називається декурсивним методом нарахування відсотків.

Крім процентної, існує дисконтна ставка d (інша назва — ставка дисконту), величина якої визначається за формулою:

де D — сума дисконту.

Порівнюючи формули (2) і (3), можна помітити, що сума відсотків І та величина дисконту D визначаються однаковим чином — як різниця між майбутньою та сучасною вартостями. Однак зміст, вкладений у ці терміни, неоднаковий: якщо в першому випадку йдеться про приріст поточної вартості, своєрідну "націнку", то в другому визначається зниження майбутньої вартості, "знижка" з її величини (Diskont у перекладі з німецької означає "знижка"). Не дивно, що основною сферою застосування дисконтної ставки є дисконтування — процес, зворотний до нарахування відсотків. Проте іноді вона використовується й для нарощення. У цьому випадку говорять про антисипативні відсотки.

За допомогою розглянутих вище ставок можуть нараховуватися як прості, так і складні відсотки. При нарахуванні простих відсотків нарощення первісної суми відбувається в арифметичній прогресії, а при нарахуванні складних відсотків — у геометричній. Спочатку докладніше розглянемо операції з простими відсотками [9, c. 44-46].

1.2. Поняття простих відсотків. Облік по простих відсотках. Математичний і банківський облік

Нарахування простих декурсивних і антисипативних відсотків здійснюється за різними формулами:

де n — тривалість позички, виміряна в роках.

Для спрощення обчислень другі співмножники у формулах (3) і (4) називаються множниками нарощення простих відсотків: (1 + nі) — множник нарощення декурсивних відсотків; 1 / (1 - nd) — множник нарощення антисипативних відсотків.

Наприклад, позичка в розмірі 1 млн грн видається строком на 0,5 року під 30% річних. У випадку декурсивних відсотків нарощена сума (Sі) дорівнюватиме 1,15 млн грн (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сума нарахованих відсотків (І) — 0,15 млн грн (1,15 - 1). Якщо ж нараховувати відсотки за антисипативним методом, то нарощена величина (Sd) становитиме 1,176 млн грн (1 * (1 / (1 - 0,5 * 0,3), а сума відсотків (D) — 0,176 млн грн. Нарощення за антисипативним методом завжди відбувається швидшими темпами, ніж при використанні процентної ставки. Тому банки використовують цей метод для нарахування відсотків за видаваними позичками в періоди високої інфляції. Однак у нього є істотний недолік: як видно з формули (4), при n = 1 / d знаменник дробу перетворюється на нуль і вираз втрачає зміст.

Загалом, нарахування відсотків із використанням ставки, призначеної для прямо протилежної операції — дисконтування, — має відтінок певної "неприродності" й іноді породжує плутанину (аналогічну тій, що може виникнути в роздрібного торговця, якщо він переплутає правила визначення знижок і націнок на свої товари). З позиції математики жодної складності тут немає: перетворивши (1), (2) і (4), отримуємо:

Дотримуючись цієї умови, можна отримувати еквівалентні результати, нараховуючи відсотки як за формулою (3), так і за формулою (4).

Антисипативний метод нарахування відсотків зазвичай використовується в чисто технічних цілях, зокрема для визначення суми, дисконтування якої за заданою дисконтною ставкою та строком дасть шуканий результат.

Як правило, процентні ставки встановлюються в річному обчисленні, тому вони називаються річними. Особливістю простих відсотків є те, що частота процесів нарощення протягом року не впливає на результат. Тобто немає жодної різниці, нараховувати 30% річних один раз на рік чи двічі по 15% річних. Проста ставка 30% річних при одному нарахуванні на рік називається еквівалентною простій ставці 15% річних при нарахуванні один раз на півроку. Ця властивість пояснюється тим, що процес нарощення за простою процентною ставкою є арифметичною прогресією з першим членом a1 = P і різницею d = (P * і).

P, P + (P * і), P + 2 * (P * і), P + 3 * (P * і), ..., P + (k - 1) * (P * і)

Нарощена сума S є не що інше, як останній k-й член цієї прогресії (S = ak = P + n * P * і), а строк позички n дорівнює k - 1. Тому якщо збільшити n і одночасно пропорційно зменшити і, то величина кожного члена прогресії, включно з останнім, залишиться незмінною [11, c. 119-121].

Однак тривалість позички (або іншої фінансової операції, пов'язаної з нарахуванням відсотків) n не обов'язково має дорівнювати року або цілому числу років. Навпаки, прості відсотки найчастіше використовуються при короткострокових (тривалістю менше року) операціях. У цьому випадку виникає проблема визначення тривалості позички та тривалості року в днях. Якщо позначити тривалість року в днях буквою K (цей показник називається тимчасова база), а кількість днів користування позичкою t, то використане у формулах (3) і (4) позначення кількості повних років n можна виразити як t/K. Підставивши цей вираз у (3) і (4), отримаємо:

У різних випадках можуть застосовуватися різні способи підрахунку числа днів у році (угода щодо підрахунку днів). Рік може прийматися рівним 365 або 360 дням (12 повних місяців по 30 днів у кожному). Проблема ускладнюється наявністю високосних років. Наприклад, позначення ACT/360 (actual over 360) вказує на те, що тривалість року приймається рівною 360 дням. Однак виникає питання: як при цьому визначається тривалість позички? Наприклад, якщо кредит видається 10 березня зі строком повернення 17 червня цього ж року, як рахувати його тривалість — за календарем чи виходячи з припущення, що будь-який місяць дорівнює 30 дням? Безумовно, у кожному конкретному випадку може бути обраний свій оригінальний спосіб підрахунку числа днів, однак на практиці вироблені деякі загальні принципи, знання яких допоможе зорієнтуватися в будь-якій конкретній ситуації.

Якщо тимчасова база (K) приймається рівною 365 (366) дням, то відсотки називаються точними. Якщо тимчасова база дорівнює 360 дням, то говорять про комерційні або звичайні відсотки. Своєю чергою, підрахунок тривалості позички може бути або наближеним, коли виходять із тривалості року в 360 днів, або точним — за календарем або за спеціальною таблицею номерів днів у році. Визначаючи наближену тривалість позички, спочатку підраховують число повних місяців і множать його на 30. Потім додають число днів у неповних місяцях. Загальним для всіх способів підрахунку є правило: день видачі та день повернення кредиту вважаються за один день (назвемо його граничним днем). У наведеному вище умовному прикладі точна тривалість позички становитиме за календарем 99 днів (21 день у березні + 30 днів у квітні + 31 день у травні + 16 днів у червні + 1 граничний день). Той самий результат буде отриманий, якщо використати таблицю номерів днів у році (10 березня має порядковий номер 69, а 17 червня — 168). Якщо ж використати наближений спосіб підрахунку, то тривалість позички становитиме 98 днів (21 + 2 * 30 + 16 + 1).

Найчастіше зустрічаються такі комбінації тимчасової бази та тривалості позички (цифри в дужках позначають відповідно величини t і K):

Точні відсотки з точним числом днів (365/365).

Звичайні (комерційні) відсотки з точною тривалістю позички (365/360).

Звичайні (комерційні) відсотки з наближеною тривалістю позички (360/360).

Розходження в способах підрахунку днів можуть здатися несуттєвими, однак при великих сумах операцій і високих процентних ставках вони досягають досить відчутних розмірів. Припустимо, що позичка в розмірі 10 млн грн видана 1 травня з поверненням 31 грудня цього року під 45% річних (проста процентна ставка). Визначимо нарощену суму цього кредиту за кожним із трьох способів. Табличне значення точної тривалості позички дорівнює 244 дні (365 - 121); наближена тривалість — 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1).

10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн грн.

10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн грн.

10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн грн.

Різниця між найбільшою та найменшою величинами (13,05 - 13,008) означає, що боржник буде змушений заплатити додатково 42 тис. грн тільки за те, що погодився (або не звернув уваги) на застосування другого способу нарахування відсотків.

Зворотним завданням до нарахування відсотків є розрахунок сучасної вартості майбутніх грошових надходжень (платежів) або дисконтування. У ході дисконтування за відомою майбутньою вартістю S і заданими значеннями процентної (облікової) ставки та тривалості операції знаходиться первісна (сучасна, наведена або поточна) вартість P. Залежно від того, яка саме ставка — проста процентна чи проста облікова — застосовується для дисконтування, розрізняють два його види: математичне дисконтування та банківський облік.

Метод банківського обліку отримав свою назву від однойменної фінансової операції, у ході якої комерційний банк викуповує у власника (враховує) простий або переказний вексель за ціною нижче номіналу до витікання зазначеного на цьому документі строку його погашення. Різниця між номіналом і викупною ціною утворює прибуток банку від цієї операції та називається дисконтом (D). Для визначення розміру викупної ціни (а отже, і суми дисконту) застосовується дисконтування за методом банківського обліку. При цьому використовується проста дисконтна ставка d. Викупна ціна (сучасна вартість) векселя визначається за формулою:

де t — строк, що залишається до погашення векселя, у днях. Другий співмножник цього виразу (1 - (t / k) * d) називається дисконтним множником банківського обліку за простими відсотками. Як правило, при банківському обліку застосовуються звичайні відсотки з точною тривалістю позички (другий варіант). Наприклад, власник векселя номіналом 25 тис. грн звернувся в банк із пропозицією врахувати його за 60 днів до настання строку погашення. Банк згоден виконати цю операцію за простою дисконтною ставкою 35% річних. Викупна ціна векселя становитиме:

P = 25000 * (1 - 60/360 * 0,35) = 23541,7 грн,

а сума дисконту дорівнюватиме:

D = S - P = 25000 - 23541,7 = 1458,3 грн.

При математичному дисконтуванні використовується проста процентна ставка і. Розрахунки виконуються за формулою:

Вираз 1 / (1 + (t / k) * і) називається дисконтним множником математичного дисконтування за простими відсотками [12, c. 87-91].

Цей метод застосовується у всіх інших (крім банківського обліку) випадках, коли виникає необхідність визначити сучасну величину суми грошей, що буде отримана в майбутньому. Наприклад, покупець зобов'язується оплатити постачальникові вартість закуплених товарів через 90 днів у сумі 1 млн грн. Рівень простої процентної ставки становить 30% річних (звичайні відсотки). Отже, поточна вартість товарів дорівнюватиме:

P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн грн.

Застосувавши до цих умов метод банківського обліку, отримаємо:

P = 1 * (1 - 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн грн.

Другий варіант виявляється вигіднішим для кредитора. Варто пам'ятати, що якихось жорстких вимог щодо вибору того чи іншого методу виконання фінансових розрахунків не існує. Ніхто не може заборонити учасникам фінансової операції обрати в даній ситуації метод математичного дисконтування або банківського обліку. Існує, мабуть, єдина закономірність: банками, як правило, обирається метод, вигідніший для кредитора (інвестора).

Основною сферою застосування простих процентної та дисконтної ставок є короткострокові фінансові операції, тривалість яких менша за один рік. Обчислення з простими ставками не враховують можливість реінвестування нарахованих відсотків, оскільки нарощення та дисконтування здійснюються відносно незмінної вихідної суми P або S. На відміну від них, складні відсотки враховують можливість реінвестування відсотків, тому що в цьому випадку нарощення здійснюється за формулою не арифметичної, а геометричної прогресії, першим членом якої є початкова сума P, а знаменник дорівнює (1 + і).

P, P * (1 + і), P * (1 + і)2, P * (1 + і)3, ..., P * (1 + і)n,

де число років позички n менше числа членів прогресії k на 1 (n = k - 1).

Нарощена вартість (останній член прогресії) визначається за формулою:

де (1 + і)n — множник нарощення декурсивних складних відсотків [5, c. 59-61].

1.3. Поняття складних відсотків. Облік по складних відсотках. Облік інфляції у фінансово-економічних розрахунках

З позицій фінансового менеджменту використання складних відсотків є кращим, оскільки визнання можливості власника в будь-який момент інвестувати свої кошти з метою отримання доходу є наріжним каменем усієї фінансової теорії. При використанні простих відсотків ця можливість часто не враховується, тому результати обчислень виходять менш коректними. Проте при короткострокових фінансових операціях, як і раніше, широко застосовуються обчислення простих відсотків. Деякі математики вважають це прикрим пережитком, що залишився з тих часів, коли у фінансистів не було під рукою калькуляторів і вони були змушені вдаватися до простіших, хоча й менш точних способів розрахунку. Можливе й дещо інше пояснення цього факту. При тривалості операцій менше одного року (n < 1) нарахування простих відсотків забезпечує отримання результатів навіть вигідніших для кредитора, ніж використання складних відсотків. Вище вже відзначалася закономірність вибору банками саме таких, вигідніших для кредитора способів. Тому було б наївно недооцінювати обчислювальні потужності сучасних банків та інтелектуальний потенціал їхніх співробітників, думаючи, що вони використовують грубі методи розрахунків лише через їхню низьку трудомісткість. Важко уявити банкіра, який хоча б на секунду забуває про власну вигоду.

Сама по собі складна процентна ставка нічим не відрізняється від простої та розраховується за такою ж формулою (1). Складна дисконтна ставка визначається за формулою (2). Так само, як і у випадку простих відсотків, можливе застосування складної дисконтної ставки для нарахування відсотків (антисипативний метод):

де 1 / (1 - d)^n — множник нарощення складних антисипативних відсотків.

Однак практичне застосування такого способу нарощення відсотків досить обмежене, і він належить скоріше до розряду фінансової екзотики.

Як уже зазначалося, найширше складні відсотки застосовуються при аналізі довгострокових фінансових операцій (n > 1). На великому проміжку часу повною мірою проявляється ефект реінвестування, нарахування "відсотків на відсотки". У зв'язку з цим питання вимірювання тривалості операції та тривалості року в днях у випадку складних відсотків стоїть менш гостро. Як правило, неповну кількість років виражають дробовим числом через кількість місяців (3/12 або 7/12), не вдаючись у точніші підрахунки днів. Тому у формулі нарахування складних відсотків число років практично завжди позначається буквою n, а не виразом t/K, як це прийнято для простих відсотків. Найбільш педантичні кредитори, беручи до уваги більшу ефективність простих відсотків на коротких відрізках часу, використовують змішаний порядок нарахування відсотків у випадку, коли строк операції (позички) не дорівнює цілому числу років: складні відсотки нараховуються на період, що вимірюється цілими роками, а відсотки за дробову частину строку нараховуються за простою процентною ставкою.

де a — число повних років у складі тривалості операції,

t — число днів у відрізку часу, що припадає на неповний рік,

K — тимчасова база.

У цьому випадку знову виникає необхідність виконання календарних обчислень за розглянутими вище правилами. Наприклад, позичка в 3 млн грн видається 1 січня 1997 року по 30 вересня 1999 року під 28% річних (процентна ставка). У випадку нарахування складних відсотків за весь строк користування грошима нарощена сума становитиме:

S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн грн.

Якщо ж використати змішаний спосіб (наприклад, комерційні відсотки з точним числом днів), то отримаємо:

S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн грн.

Таким чином, педантичність кредитора в цьому випадку виявилася зовсім не зайвою й була винагороджена додатковим доходом у сумі 85 тис. грн [8, c. 66-69].

Важливою особливістю складних відсотків є залежність кінцевого результату від кількості нарахувань протягом року. Тут знову позначається вплив реінвестування нарахованих відсотків: база нарахування зростає з кожним новим нарахуванням, а не залишається незмінною, як у випадку простих відсотків. Наприклад, якщо нараховувати 20% річних один раз на рік, то первісна сума в 1 тис. грн зросте до кінця року до 1,2 тис. грн (1 * (1 + 0,2)). Якщо ж нараховувати по 10% кожні півроку, то майбутня вартість становитиме 1,21 тис. грн (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), а при поквартальному нарахуванні по 5% вона зросте до 1,216 тис. грн. У міру збільшення числа нарахувань (m) і тривалості операції ця різниця буде дуже сильно збільшуватися. Якщо розділити суму нарахованих відсотків при щоквартальному нарощенні на первісну суму, то вийде 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Отже, складна ставка 20% при однократному нарощенні та 20% (чотири рази по 5%) при поквартальному нарощенні приводять до різних результатів, тобто вони не є еквівалентними. Цифра 20% відображає вже не дійсну (ефективну), а номінальну ставку. Ефективною процентною ставкою є значення 21,6%. У фінансових розрахунках номінальну складну процентну ставку прийнято позначати буквою j. Формула нарощення за складними відсотками при нарахуванні їх m разів на рік має вигляд:

У міру збільшення числа нарахувань відсотків протягом року (m) проміжок часу між двома суміжними нарахуваннями зменшується: при m = 1 цей проміжок дорівнює одному року, а при m = 12 — лише одному місяцю. Теоретично можна уявити ситуацію, коли нарахування складних відсотків здійснюється настільки часто, що загальне його число в році прямує до нескінченності, тоді величина проміжку між окремими нарахуваннями наближатиметься до нуля, тобто нарахування стане практично безперервним. Така на перший погляд гіпотетична ситуація має важливе значення для фінансів, і при побудові складних аналітичних моделей (наприклад, при розробці масштабних інвестиційних проектів) часто застосовуються безперервні відсотки. Безперервна процентна ставка (очевидно, що при безперервному нарахуванні мова може йти тільки про складні відсотки) позначається буквою δ (читається "дельта"), і цей показник часто називають "сила росту". Формула нарощення за безперервною процентною ставкою має вигляд:

, (19)

де e — основа натурального логарифма (~2,71828...),

edn — множник нарощення безперервних відсотків.

Наприклад, чому дорівнюватиме через 3 роки сума 250 тис. грн, якщо сьогодні покласти її на банківський депозит під 15% річних, що нараховуються безупинно?

S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тис. грн.

Для безперервних відсотків не існує розходжень між процентною та дисконтною ставками: сила росту є універсальним показником. Однак поряд із постійною силою росту може використовуватися змінна процентна ставка, величина якої змінюється за заданим законом (математичною функцією). У цьому випадку можна будувати дуже потужні імітаційні моделі, однак математичний апарат розрахунку таких моделей досить складний і не розглядається в цьому посібнику, так само як і нарахування відсотків за змінною безперервною процентною ставкою. Безперервне дисконтування з використанням постійної сили росту виконується за формулою:

, (20)

де 1 / edn — дисконтний множник дисконтування за силою росту [6, c. 9-12].

Наприклад, у результаті здійснення інвестиційного проекту планується отримати через 2 роки дохід у розмірі 15 млн грн. Чому дорівнюватиме наведена вартість цих грошей у сьогоднішніх умовах, якщо сила росту становить 22% річних?

P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн грн.

Розділ 2. Елементарні фінансові розрахунки та застосування їх на практиці у банківській діяльності

2.1. Застосування фінансових обчислень для аналізу фінансових показників

У попередньому розділі були викладені основні принципи застосування процентних обчислень у практичних фінансових розрахунках. Наведені в цьому розділі приклади стосувалися банківської діяльності, оскільки в цій сфері механізм їхньої дії найбільш наочний і зрозумілий. Однак сфера використання фінансових обчислень значно ширша, ніж розрахунок параметрів банківських кредитів. Гарне володіння основами фінансової математики дозволяє порівнювати між собою ефективність окремих операцій та обґрунтовувати найбільш оптимальні управлінські рішення. Для аналізу фінансових показників у цей час застосовуються найвитонченіші математичні методи. Наявність докторського ступеня з математики поки не є обов'язковою вимогою для фінансового менеджера більшості підприємств, однак знання елементарних властивостей фінансових показників та основних взаємозв'язків між ними буде необхідним йому починаючи з першого дня практичної роботи.

Велику допомогу фінансисту надають спеціальні комп'ютерні програми, а також фінансові калькулятори, що дозволяють автоматизувати обчислення багатьох показників. Широкого поширення набуло використання фінансових таблиць для нарахування складних відсотків і дисконтування. У цих таблицях наводяться значення множників нарощення (дисконтних множників) для заданих n та і. Для знаходження нарощеної вартості достатньо помножити відому первісну суму на табличне значення множника нарощення. Аналогічно можна знайти наведену величину майбутніх грошей, помноживши їхню суму на дисконтний множник із таблиці. Розглянемо деякі інші елементарні способи використання результатів фінансових обчислень.

В умовах нестабільної економіки банки та інші кредитори з метою зниження свого процентного ризику можуть встановлювати змінні ставки відсотків для різних фінансових операцій. Наприклад, за позичкою в розмірі 2 млн грн загальною тривалістю 120 днів протягом перших двох місяців будуть нараховуватися 30% річних, а починаючи з 61 дня щомісяця проста процентна ставка буде збільшуватися на 5% (звичайні відсотки). Фактично, позичка розбивається на кілька складових, за кожною з яких встановлені свої умови. Необхідно знайти нарощені суми за кожною зі складових, а потім скласти їх. Згадаємо, що аналогом процентної ставки в статистиці є показник "темп приросту". При нарахуванні простих відсотків варто говорити про базисні темпи приросту, оскільки первісна сума P залишається незмінною. Дане завдання в статистичних термінах може бути інтерпретоване як додавання базисних темпів приросту з наступним множенням на первісну суму позики. Загальна формула розрахунку матиме такий вигляд:

де N — загальне число періодів, протягом яких відсотки нараховуються за незмінною ставкою. Підставивши в цей вираз умови нашого прикладу, отримаємо:

S = 2 * (1 + (60/360 * 0,3) + (30/360 * 0,35) + (30/360 * 0,4)) = 2,225 млн грн.

Відповідно для складних відсотків мова йтиме вже не про базисні, а про ланцюгові темпи приросту, які повинні не складатися, а перемножуватися:

Підставивши умови прикладу, отримаємо:

S = 2 * (1 + 0,3)60/360 * (1 + 0,35)30/360 * (1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн грн.

Це завдання можна вирішити дещо іншим шляхом — розрахувавши спочатку середні процентні ставки. Розрахунок середніх процентних ставок (або розрахунок середніх доходностей) взагалі є дуже поширеною у фінансах операцією. Для її виконання корисно знову згадати про математико-статистичну природу процентних ставок. Оскільки нарахування простих відсотків відбувається в арифметичній прогресії, середня проста ставка розраховується як середня арифметична зважена:

де N — загальне число періодів, протягом яких процентна ставка залишалася незмінною [4, c. 367-369].

Складні відсотки ростуть у геометричній прогресії, тому середня складна процентна ставка розраховується як середня геометрична зважена. Як ваги в обох випадках використовуються тривалості періодів, для яких діяла фіксована ставка.

Знову використаємо дані нашого прикладу. У випадку нарахування простих відсотків отримаємо:

іпр = ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75%

S = 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн грн.

Тобто середня процентна ставка склала 33,75%, і нарахування відсотків за цією ставкою за весь строк позички дає такий самий результат, як і той, що був отриманий за формулою (1). Для складних відсотків вираз набуде вигляду:

ісл = ((1 + 0,3)60 * (1 + 0,35)30 * (1 + 0,4)30)1/120 - 1 = 0,33686 = 33,69%

S = 2 * (1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн грн.

Нарахування відсотків за середньою процентною ставкою 33,69% також дає результат, еквівалентний тому, що був отриманий за формулою (2).

2.2. Визначення механізмів нарощення простих і складних відсотків у банківській діяльності

Розуміння відмінностей механізмів нарощення простих і складних відсотків допомагає уникати досить поширених помилок. Наприклад, варто пам'ятати, що такий процес, як інфляція, розвивається в геометричній, а не в арифметичній прогресії, тобто до нього повинні застосовуватися правила нарахування складних, а не простих відсотків. Темпи приросту цін у цьому випадку є ланцюговими, а не базисними, оскільки в кожному наступному місяці ріст цін відноситься до попереднього місяця, а не до початку року або якоїсь іншої незмінної бази. Наприклад, якщо інфляція в січні склала 5%, у лютому 4%, а в березні 9%, то загальна інфляція за квартал дорівнюватиме не 18% (сума місячних показників), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 - 1). Середньомісячний рівень інфляції за цей квартал складе (1,05 * 1,04 * 1,09)1/3 - 1 = 5,98%. З іншого боку, якщо оголошується, що середньомісячна інфляція за рік склала 5,98%, то це не означає, що загальна інфляція за рік у 12 разів більша (71,76%). Насправді річна інфляція в цьому випадку складе понад 100,7% (1,059812 - 1).

У попередньому розділі зверталася увага на складнощі, що виникають при спробі зрозуміти зміст антисипативного нарахування відсотків. Розглянемо ситуацію, у якій необхідно вдатися саме до цього способу. Наприклад, комерсант пропонує замість оплати готівкою виписати на вартість закуплених матеріалів вексель у сумі 500 тис. грн зі строком оплати через 90 днів, який може бути врахований у банку за простою дисконтною ставкою 25% річних (комерційні відсотки з точним числом днів позички). Для визначення суми, яку необхідно проставити в цьому векселі, йому потрібно нарахувати відсотки на вартість товарів, використовуючи антисипативний метод. Сума векселя становитиме 533,333 тис. грн (500 * 1 / (1 - 90 / 360 * 0,25). Якщо продавець у цей же день врахує цей вексель у банку (на обговорених умовах), то отримає на руки рівно 500 тис. грн (533,333 * (1 - 90 / 360 * 0,25)). Таким чином, нарахування антисипативних відсотків використовується для визначення нарощеної суми, яка потім буде дисконтуватися за тією ж самою ставкою, за якою здійснювалося нарахування. Таке чисто технічне використання нарощення за дисконтною ставкою є переважним у практичних розрахунках.

Поряд із розрахунком майбутньої та сучасної величини коштів часто виникають завдання визначення інших параметрів фінансових операцій: їхньої тривалості та величини процентної або дисконтної ставок. Наприклад, може виникнути питання: скільки часу знадобиться, щоб дана сума при заданому рівні процентної ставки подвоїлася, або при якому рівні дисконтної ставки протягом року вихідна сума зросте в півтора разу? Рішення подібних завдань зводиться до перетворення відповідної формули нарощення (дисконтування) таким чином, щоб обчислити значення невідомого параметра. Наприклад, якщо потрібно розрахувати тривалість позички за відомими первісною та майбутньою сумами, а також рівнем простої процентної ставки, то, перетворюючи формулу нарахування простих декурсивних відсотків (S = P * (1 + nі)), отримаємо формулу (5). За такою ж формулою визначатиметься строк до погашення зобов'язання при математичному дисконтуванні.

Визначення строку фінансової операції для антисипативного нарахування відсотків і банківського обліку здійснюється за формулою (6). Наприклад, потрібно визначити, через який період часу відбудеться подвоєння суми боргу при нарахуванні на неї 20% річних простих: а) при декурсивному методі нарахування відсотків; б) при використанні антисипативного методу. Тимчасова база в обох випадках приймається рівною 365 дням (точні відсотки). Застосувавши формули (5) і (6), отримаємо:

а) t = (2 - 1) / 0,2 * 365 = 1825 днів (5 років);

б) t = (1 - 1/2) / 0,2 * 365 = 912,5 днів (2,5 роки).

Цю ж формулу можна застосувати для визначення строку до погашення зобов'язань при дисконтуванні. Наприклад, за векселем номіналом 700 тис. грн банк виплатив 520 тис. грн, здійснивши його облік за простою ставкою 32% річних. Чому дорівнює строк до погашення векселя? Застосувавши формулу (6), отримаємо:

t = (1 - 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 днів.

Товар вартістю 1,5 млн грн оплачується на умовах комерційного кредиту, наданого під 15% річних (проста процентна ставка, тимчасова база 360 днів). Сума оплати після закінчення строку кредиту склала 1 млн 650 тис. грн. Чому дорівнює строк наданого кредиту? З формули (5) випливає:

t = (1,65/1,5 - 1) / 0,15 * 360 = 240 днів.

Ще одним найважливішим параметром будь-якої фінансової операції є процентна (облікова) ставка. Крім технічної функції, виконуваної цим показником у ході розрахунків, він використовується для оцінки прибутковості — одного з фундаментальних понять фінансового менеджменту. Часто можна почути (або прочитати) вирази, подібні до наступних: "на цій угоді я заробив 50%" або "менеджери нашого фонду забезпечать річну прибутковість за Вашими внесками не нижче 100%" тощо. Варто одразу зауважити, що самі по собі ці вирази цілком коректні, однак обсяг корисної інформації, що в них міститься, значно менший, ніж може здатися на перший погляд. Зі змісту попереднього розділу можна зробити висновок, що будь-яка згадка про процентні ставки вимагає безлічі застережень і уточнень. Спробуємо зрозуміти зміст першого виразу. По-перше, слід уточнити, до якого проміжку часу відноситься отриманий дохід — місяцю, року чи тривалості самої угоди. В останньому випадку необхідно знати, чому дорівнює ця тривалість. Оскільки нічого не відомо ні про суму, ні про тривалість угоди, її результат "50% доходу" неможливо порівняти з прибутковістю якоїсь іншої операції, щоб зробити висновок про рівень її ефективності. Якщо у відповідь на це вираження хто-небудь заявить: "А я маю 25% річних за своїм банківським депозитом", то визначити, хто ж із цих двох інвесторів виявився щасливішим, буде практично неможливо [7, c. 106-109].

Стикаючись зі згадуванням про процентні ставки, фінансист повинен з'ясувати, про які відсотки — прості чи складні, дискретні чи безперервні — йде мова. Далі необхідно точно визначитися з тимчасовою базою: чи розраховуються річні відсотки або якісь інші; якщо відсотки річні, то виникає питання, яким чином визначається тривалість операції та тривалість року. У випадку нарахування складних відсотків має бути обговорена кількість нарахувань відсотків протягом року.

У результаті може виявитися, що методика визначення прибутковості, яку використовує один із контрагентів, не збігається з тією, що "прийнята на озброєння" іншою стороною. Однак у цьому вже не буде жодної трагедії, оскільки, знаючи особливості обох цих методик, фінансисти досить швидко приведуть результати своїх розрахунків у порівнянний вигляд. Тобто, вчасно ставлячи необхідні питання, фінансист тим самим запобігає можливим неприємним наслідкам використання неузгоджених термінів. Навряд чи в доступному для огляду майбутньому вдасться змусити всіх розраховувати прибутковість за якоюсь єдиною методикою, тому завдання фінансиста полягає не в тому, щоб змусити свого контрагента застосовувати єдиний "правильний" спосіб, а в тому, щоб якомога швидше розібратися самому, що саме розуміє під терміном "прибутковість" його співрозмовник, і після цього вирішити, яким чином можна уніфікувати розрахунки. Питання визначення прибутковості заслуговують окремої розмови, тому тут будуть розглянуті найбільш загальні моменти розрахунку рівня процентних ставок в окремих фінансових операціях і знаходження еквівалентних їм значень [13, c. 216-218].

Розділ 3. Розвиток та вдосконалення роботи з фінансовими обчисленнями

Основи комерційної арифметики зародилися в Європі ще в середні століття, і методи вищих фінансових обчислень були відомі вже до початку XX століття, але після революції в Росії фахівці з фінансовою освітою не були широко затребувані, і дана галузь виродилася в предмет "Господарські обчислення", пізніше перетворений на новій технічній основі в споріднений напрямок "Автоматизовані системи обробки економічної інформації". Геометрична прогресія на уроках математики викладалася, але не інтерпретувалася як закон росту вартості внеску за формулою складних відсотків. Тому тепер, при відродженні в нашій країні практики ринкових відносин, фінансова математика як фундаментальна навчальна дисципліна користується попитом і в середній школі, і на програмах підвищення кваліфікації, і при підготовці фахівця з вищою економічною освітою.

Відмовляючись сьогодні від обміну своїх грошей на корисні товари й послуги, люди намагаються зберегти їх, сподіваючись на нагромадження в майбутньому сум, що підвищують рівень добробуту. Такі дії пов'язані з ризиком, який не завжди можна оцінити, тобто інвестиційні рішення зазвичай приймаються в умовах невизначеності. Прагматичний кредитор або вкладник буде зацікавлений тільки в досить надійній для нього пропозиції збільшити вихідну грошову суму, причому так, щоб приріст її компенсував обмеження споживання сьогодні, втрату купівельної спроможності у зв'язку з інфляцією та можливість невиконання зобов'язань. Час не повертається, але вкладений у справу капітал може згодом повернутися до інвестора з відсотком. Кредитор стягує плату за використання коштів із позичальника, який має намір витратити їх саме зараз, оскільки воліє задовольняти свої потреби раніше, ніж нагромадить достатньо власних коштів.

У двадцятому столітті в країнах, що розвивалися капіталістичним шляхом, виникли нові методи обґрунтування й прийняття фінансово-економічних рішень, змінилася господарська практика та розширилося різноманіття договірних відносин. Виклад економіко-математичної теорії господарського ринку займає не один том академічних видань.

Володіння технікою обчислень на обчислювальній техніці — уже не данина моді на комп'ютерну грамотність, а невід'ємний елемент професійної придатності економіста будь-якої спеціалізації. Усього двадцять років тому не існувало простого способу маніпулювати цифрами на екрані комп'ютера, але в 1979 році все змінилося завдяки двом випускникам Массачусетського технологічного інституту. Ден Бріклін і Боб Френкстон створили VisiCalc — першу електронну таблицю.

Робота в режимі електронних таблиць повертає обчислювальній машині роль великого калькулятора, одноклітинна панель якого замінена вікном у величезну "пустографу", готову прийняти введення констант і розрахункових формул. Вихідні дані та знайдені за формулами відповіді на екрані в таблиці "розкладені по поличках" і зберігаються спільно на одному робочому аркуші в окремих клітинках, що візуально імітує осередки оперативної пам'яті комп'ютера. Наявність унікальної адреси перетворює кожну клітинку в аналог змінної в мовах програмування, причому тип даних, що зберігаються в ній, заздалегідь не визначений, а розпізнається таблицею при введенні за складом інформації.

Зміна вмісту табличної клітинки миттєво впливає на значення залежних від неї формул: перерахунок відповідей і проміжних результатів відбувається автоматично, так що, побудувавши собі модель обчислень, можна прямою підстановкою на старе місце нових вихідних значень параметрів, що відображають додаткові припущення, легко відстежувати їхні наслідки. Формули кодуються константами, адресами операндів, знаками дій, круглими дужками та вбудованими функціями. Для розмноження повторюваних формул успішно застосовується копіювання одним рухом руки користувача (з мишею) у потрібному напрямку.

Саме про таку простоту у використанні комп'ютера для автоматизації рутинних обчислень і мріяв програміст Ден Бріклін, коли починав роботу над створенням "текстового процесора для чисел", щоб ту саму фінансову задачу можна було перераховувати з новим допущенням — наприклад, 12 відсотків замість 10. У той час він навчався в Гарвардській школі бізнесу, і, роблячи помилки у своїх вечірніх обчисленнях домашніх завдань на калькуляторі, придумав новий користувацький екранний інтерфейс у вигляді таблиці та програмний продукт, що підтримує цей режим розрахункового діалогу. Пізніше за ними закріпилася англо-американська назва spreadsheets, яку російською мовою передають термінами "електронні таблиці" або "табличний процесор". Найпопулярнішим і сучасним табличним процесором тепер є Excel, що входить до основного складу широко розповсюдженого Microsoft Office для Windows, на роботу з яким і орієнтований виклад матеріалу в посібнику. Варто зауважити, що принципи спілкування користувача з електронними таблицями настільки універсальні, що стали фактично стандартом інформаційної технології автоматизації обчислень непрофесійним користувачем ПК.

Темп прогресивних перетворень у галузі розвитку технічних засобів автоматизації розрахунків часто випереджає швидкість перепідготовки кадрів. Яскравим прикладом цього є безвідповідальна русифікація фахівцями в галузі інформаційних технологій групи вбудованих фінансових функцій пакета Excel у версіях нижче Excel 2000. В оригіналі їхні назви точно відповідають англійським абревіатурам фінансових термінів, що давно стали міжнародним стандартом. А от назву фінансової функції або текст довідки по ній "російською мовою" непідготовленому читачеві зрозуміти відразу буває нелегко. Справа в тому, що інтерес до літератури з фінансової проблематики, який нещодавно пробудився, задовольнявся в першу чергу закордонними джерелами та потоком скоростиглих перекладних видань, що призвело до витіснення забутої вітчизняної термінології фінансовим новомовом. Викладачі столичних університетів ще не закрили дискусію про те, як правильно перекласти з англійської мови на російську словосполучення "present value" — дійсна, сучасна, сьогоднішня, теперішня, поточна, наведена, дисконтована величина (значення, цінність, вартість, дохід) [1, c. 243-247].

Висновки

У роботі надаються теоретичні обґрунтування та рекомендації щодо практичного застосування методів фінансово-економічного аналізу при здійсненні кредитних, інвестиційних та ряду інших комерційних операцій.

Зі вступом нашої держави на шлях ринкових перетворень надзвичайно велике значення має формування та використання фінансових ресурсів. Управління фінансами вимагає від фінансового менеджера глибоких знань особливостей ринку, досвіду ведення фінансових розрахунків, інтуїції щодо прийняття рішень. Такі риси формуються в процесі оволодіння теоретичними основами фінансового аналізу та практичної діяльності.

У фінансовому аналізі фінансові відносини між суб'єктами господарської діяльності за допомогою математичних засобів подаються у вигляді певних математичних моделей процесу управління, що дає можливість аналізувати та порівнювати альтернативні варіанти, а в кінцевому результаті приймати найоптимальніше фінансове рішення. За допомогою прийомів і методів фінансового аналізу можна звести до мінімуму ризик при здійсненні конкретної фінансової операції та водночас досить точно вирахувати майбутні доходи.

Для фінансового менеджера дуже важливо чітко усвідомлювати тимчасову вартість грошей, тобто вартість грошей у будь-який заданий момент часу та її вплив на фінансову діяльність фірми. Тому аналіз тимчасової вартості грошей і потоків платежів — найважливіша фінансова проблема.

Фундамент фінансового аналізу становлять такі поняття: прості та складні проценти, дисконт і дисконтування, нарощена й теперішня вартість грошей, еквівалентні ставки та платежі, ануїтети, фінансові ренти та їх використання у фінансово-економічних розрахунках.

Основними категоріями фінансового аналізу є проценти та процентна ставка.

У роботі були розглянуті не лише способи нарахування та використання процентів, а й вигоди та втрати з позицій кредитора й боржника, які вони отримують у кожній конкретній фінансовій операції.

Процентна ставка виконує дві важливі функції:

— з одного боку, процентна ставка — це ціна на гроші (норма позикового, депозитного процента);

— з іншого боку, процентна ставка — це міра, показник ефективності фінансової операції.

Поряд із визначенням таких видів ставок, як облікова, номінальна, ефективна, дисконтна, читач знайде й особливості їх застосування у фінансовій практиці. Кожен спосіб чи нове поняття ілюструється на прикладі.

Список використаної літератури

1. Антонов В. Фінансовий менеджмент: сучасні інформаційні технології: Навчальний посібник / Валерій Антонов, Гаррі Яловий; За заг. ред. В. М. Антонова; М-во освіти і науки України, Київський ун-т ім. Т. Г. Шевченка. — К.: Центр навчальної літератури, 2005. — 431 с.
2. Белых Л.П. Основы финансового рынка. — М.: Финансы, ЮНИТИ, 1999, стр. 14–38.
3. Брейли Р., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. — М.: ЗАО "Олимп — Бизнес", 1997, стр. 309–395.
4. Брігхем, Євген Ф. Основи фінансового менеджменту: Підручник / Євген Ф. Брігхем; Пер. з англ. В. Біленький та ін.; Київ. нац. ун-т ім. Т.Г. Шевченка, Кафедра фінансів, грошового обігу та кредиту. — К.: КП "ВАЗАКО": Молодь, 1997. — 998, IV с.
5. Вейсвеллер Р. Арбитраж. Возможности и техника операций на финансовых и товарных рынках. — М.: "Церих-ПЭЛ", 1995. — 208 с.
6. Економічний аналіз і діагностика стану сучасного підприємства [Текст]: навчальний посібник / Т. Д. Костенко, Є. О. Підгора, В. С. Рижиков та ін.; М-во освіти і науки України, ДДМА. — К.: Центр навчальної літератури, 2005. — 398 с.
7. Иваниенко В. Финансовый анализ: учебное пособие / Виктор Иваниенко; М-во образования и науки Украины, Харьковский гос. экон. ун-т. — 2-е изд. — Харьков: Инжэк, 2003. — 175 с.
8. Капитоненко В. В. Финансовая математика и ее приложения: учебно-практическое пособие для вузов / В. В. Капитоненко. — М.: Приор, 1998. — 139 с.
9. Ковалев В.В. Финансовый анализ. — М.: Финансы и статистика, 1997, стр. 7–47; 379–417.
10. Кузьменко Л. Фінансовий менеджмент: Навчальний посібник / Людмила Кузьменко, Володимир Кузьмін, Валентина Шаповалова. — Херсон: ОЛДІ-плюс, 2003. — 255 с.
11. Мец В. Економічний аналіз фінансових результатів та фінансового стану підприємства: навчальний посібник / Валентина Мец; Ред. І.В. Туз. — К.: Вища школа, 2003. — 277, [1] с.
12. Мещеряков А. А. Фінансовий менеджмент у банках: Навчальний посібник / А. А. Мещеряков, Л. В. Лисяк; М-во фінансів України, Дніпропетровська держ. фінансова акад. — К.: Центр навчальної літератури, 2006. — 207 с.
13. Нестеренко, Ж. К. Економічний аналіз фінансово-господарської діяльності підприємства: навчальний посібник / Ж. К. Нестеренко, А. В. Череп; М-во освіти і науки України, ЗНТУ. — К.: Центр навчальної літератури, 2005. — 122 с.
14. Основи фінансового аналізу: Навчальний посібник для студ. вузів / Я.І. Єлейко, О.М. Кандиба, М.Л. Лапішко, Т.С. Смовженко; Нац. банк України; Львівський банківський інститут. — К.: НБУ; Львів: Львівський банківський ін-т НБУ, 2000.
15. Перар Ж. Управление международными денежными потоками. — М.: Финансы и статистика, 1998. — 208 с.
16. Подольська В. Фінансовий аналіз: Навчальний посібник / Валентина Подольська, Олена Яріш; Мін-во освіти і науки України, Полтавський ун-т споживчої кооперації України. — К.: Центр навчальної літератури, 2007. — 487 с.
17. Фролова Т. Фінансовий аналіз: Навчально-методичний посібник для самостійного вивчення і практичних завдань / Тетяна Фролова; Європ. ун-т. — К.: Вид-во Європейського ун-ту, 2005. — 252 с.
18. Шелудько В. Фінансовий менеджмент: Підручник / Валентина Шелудько. — К.: Знання, 2006. — 439 с.
19. Шиян Д. Фінансовий аналіз: Навчальний посібник / Дмитро Шиян, Наталія Строченко. — К.: А.С.К., 2003. — 229 с.
20. Чернышева Ю. Г. Анализ финансово-хозяйственной деятельности: учебное пособие / Ю. Г. Чернышева. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2005. — 284 с.